次数付き環の斉次素イデアル

（未完成記事）

次数付き可換環 $S=\bigoplus_{k \in \mathbb{Z}} S_k$ を考える。
ここで、環 S が f という可逆な元を含んでいて、 f の次数は0ではないとする。
斉次イデアル I について、次数 k の部分を $I_k=I \cap S_k$ とおくと、
$I_0$ は $S_0$ のイデアルになっている。
一般に、 $I_0 S$ は I に含まれるイデアルではあるが、 I に一致するとは限らない。
しかし $\sqrt{I_0 S}=I$ は成立する。
実際、任意の I の斉次の元 a について、 $a^n f^m \in I_0$ という正の整数 n と整数 m が存在するが、
f は可逆なのでこれは $a^n \in I_0 S$ を意味する。

逆に、 $S_0$ の素イデアル $P_0$ について、 $P=\sqrt{P_0 S}$ と定めると、
P は（斉次）素イデアルであって、その次数0の部分は $P_0$ に一致する。

以上の議論より、（ f についての仮定の下に） S の斉次素イデアルと
$S_0$ の素イデアルの間の自然な全単射が存在する。

$P_0 S=P$ が成り立たない例：
$R=\mathbb{C}[x,y,\sqrt{x+y}]$ を普通のやり方で（ $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$ による）次数付き環だと考える。
（ R は環としては2変数多項式環になるが、それはそれとして次数付き環としての構造は異なる。）
何でもいいので斉次多項式 $f \in \mathbb{C}[x,y]$ をとり、 $S=R[\frac{1}{f}]$ とする。
ただし f は $x+y$ では割り切れないとする。
このとき $S_k$ は $\mathbb{C}[x,y,\frac{1}{f}]$ の次数 k の部分となり（ k は整数）、また $S_{k+1/2}=\sqrt{x+y} S_{k}$ である。
$\sqrt{x+y}$ で生成されるイデアルを P とすると、これは（斉次）素イデアルであって、
$P_0=(x+y) S_{-1}$ 、 $P_{1/2}=\sqrt{x+y} S_0$ がわかる。
一方で、イデアル $P_0 S$ の次数 1/2 の部分は $P_0 S_{1/2}=(x+y)\sqrt{x+y} S_{-1}$ になる。
$(x+y) S_{-1} \neq S_0$ より、 $P_0 S$ は P に真に含まれる。