対称群の多項式への作用 - mathhashimotoの日記

n 次対称群が n 文字の集合に左から作用している流儀の場合、
n 変数の集合 $\{ x_1,\ldots,x_n \}$ を n 文字の集合と同一視すると、
この集合への作用
$\sigma \cdot x_i=x_{\sigma(i)}$
も左からということになる。
一般の多項式 $f(x_1,\ldots,x_n)$ への作用は
$(\sigma \cdot f)(x_1,\ldots,x_n)=f(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)})$
で与えられ、これも左からの作用となる。

そうすると、ここが紛らわしいのだが、対応する n 次元アフィン空間への作用
$(x_1,\ldots,x_n) \cdot \sigma=(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)})$
は右からでなければならない。
実際、基本ベクトルを $e_i=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ （ i 番目のみ 0 ）と書くことにすると、
$e_i \cdot \sigma=e_{\sigma^{-1}(i)}$
となる。
この作用を使って多項式への作用を表すと、
$(\sigma \cdot f)(x)=f(x \cdot \sigma)$
[tex: (\tau \cdot (\sigma \cdot f))(x)=(\sigma \cdot f)(x \cdot \tau)=f*1=((\tau \sigma) \cdot f)(x)]
となり、確かに多項式への作用は左からの作用になっていることがわかる。

そういうわけで、作用を $\sigma \cdot x_i=x_{\sigma(i)}$ と $\sigma \cdot e_i=e_{\sigma(i)}$ で定義してしまうと、
整合的ではなくなってしまう。

*1:x \cdot \tau) \cdot \sigma)=f(x \cdot (\tau \sigma