互いに素な整数と約分 - mathhashimotoの日記

$a_i,h_i$ を正の整数として、 $r=a_i/h_i$ が成立しているとする（ここで $i=1,\ldots,n$ ）。
さらに $h_i$ たちは互いに素であるとする。
（実は coprime と pairwise coprime は意味が違うが、今は前者の意味である。）
そうすると実は r は整数であることがわかる。
これは、整数の素因数分解の一意性を仮定すると明らかだが、それとは微妙に違った
やり方で示すこともできる。

まず、ある $b_i$ という整数たちにより $\sum_i b_i h_i=1$ となることに注意する。
（実際はこの条件と素因数分解の一意性は同じようなものではある。）
よって
$\sum_i b_i \times \frac{a_i}{r}=1$
となり、結局 $r=\sum_i a_i b_i$ を得る。

この議論には別の応用があって、つまり以下の主張を示すときに使われる。
可換環 A （整域でなくてもよい）について、 $\operatorname{Spec} A$ の上で局所的に定義された関数を
貼りあわせて大域的な関数を作ることができる。
簡単な状況だと、 $a_i,h_i \in A$ があって（ $i=1,\ldots,n$ ）、
$a_i h_j=a_j h_i, \qquad \sum_i b_i h_i=1$
となる（ $b_i \in A$ ）。
$r=\sum_i a_i b_i$ とすると、
$r h_j=\sum_{i} a_i h_j b_i=\sum_{i} a_j h_i b_i=a_j$
となるので、 $\operatorname{Spec} A_{h_j}$ 上で r と $a_j/h_j$ は等しい。